Ловушка эквити или Колл не по шансам

В этой статье собираюсь продемонстрировать недостатки упрощённого подхода к покерным ситуациям, базирующегося на эквити, главный недостаток которого – игнорирование последующих ставок.

Пример 1: ловля блефа на ривере

Мы заколлировали рэйз на большом блайнде и сыграли чек-колл ставки в полный банк на флопе и тёрне. На ривере мы прочекали, и соперник снова поставил банк.

Сколько эквити против диапазона ставки оппонента нам нужно для плюсового колла?

Посчитать это очень просто:

минимальное эквити = размер ставки оппонента / размер банка после колла

минимальное эквити = $300/($300 + $300 + $300) = 1/3 = 33.3%

Итак, мы пришли к (надеюсь, общеизвестному) выводу о том, что для выгодного колла на ривере наше эквити против диапазона ставки оппонента должно быть больше 33.3%. Остается только ввести диапазон, с которым соперник будет ставить ривер, в программу Pokerjuice и определить эквити нашей руки против диапазона.

До сих пор мы даже не пытались выйти за пределы зоны комфорта. Давайте теперь усложним задачу и, забыв про ривер, вернёмся к аналогичному решению на тёрне.

Пример 2: чек-колл тёрна с комбо-дро

Та же история – мы защитили большой блайнд и сыграли чек-колл на флопе. На наш чек тёрна оппонент ставит банк.

Сколько эквити против диапазона ставки оппонента нужно для плюсового колла в этом случае?

Если вы снова ответили «33.3%», ругать вас никто не будет, но это неверный ответ. Давайте разберёмся, почему, и попутно выясним, почему вопрос тоже следует считать неудачным.

Моделирование покера, состоящего из двух улиц

Для начала нарисуем дерево принятия решений, начиная со ставки соперника на тёрне. Чтобы не усложнять наш пример, введём следующие ограничения:

Hero на каждой улице может играть либо чек-колл, либо чек-фолд;
Villain выбирает между ставкой в банк и чеком следом.

Эти ограничения не уведут нас слишком далеко в сторону – примерно так и трактуют возникшую ситуацию большинство игроков. Конечно, в игре «диапазон против диапазона» такие ограничения стратегических альтернатив чрезмерны, но к этому мы вернёмся в конце статьи.

Строим дерево:

Каждый ромб – узел решения, шестиугольники – замыкающие узлы, варианты исхода раздачи. Как видите, несмотря на введённые ограничения, этих вариантов целых четыре.

Определение диапазона оппонента

Применим метод доказательства от противного и предложим предельно упрощённый диапазон, эквити которого против нашей руки – примерно 2 к 1, после чего посчитаем математическое ожидание (EV) чек-колла тёрна. Если результат получится отрицательным, это докажет, что эквити 1 к 2 против диапазона недостаточно для колла на тёрне.

Допустим, диапазон оппонента состоит всего из двух рук, против каждой из которых наше эквити равно 32.5%:

Ah As Jd 3d
Ac As Qc Kd

После чек-колла на тёрне наше эквити на ривере зависит от вышедших карт:

Расчёт матожидания чек-колла на тёрне

На ривере возможны 43 карты (туз пик на руках у соперника). Подсчитаем наш выигрыш для каждой карты отдельно.

После выхода 22 карт наше эквити на ривере равно нулю, и мы играем чек-фолд. Выигрыш составляет -$100.

Шесть карт дают нам 100% эквити: Ac , Ts , Th , Td , 7h , 7d . Так как сопернику нет смысла превращать свою руку в блеф, он прочекает на этих картах следом, и наш выигрыш по каждой из них составит +$200.

Осталось рассмотреть 15 карт, 14 из которых дадут нам около 50% эквити, а Qc – 100%.

Начнём с флешей. Допустим, соперник будет всегда ставить с флешем и попытается балансировать это ставкой без флеша в половине случаев. То есть по выходу трефы он будет ставить 75%, чтобы сделать наше ожидание от паса и колла одинаковым. Следовательно, при выходе шести трефовых карт мы в 75% случаев фактически сыграем чек-фолд, а в 25% выиграем на вскрытии после двух чеков. Ожидание в этом случае составит = 0.75*($-100) + 0.25*(+$200) = -$25

При выходе Qc оппонент будет только блефовать в половине случаев, и наш выигрыш составит = 0.5*(+$500) + 0.5*(+$200) = +$350

Предположим, что по нетрефовым восьмеркам и девяткам соперник будет чекать в ответ, позволяя нам реализовать эквити, и они дадут нам = 0.5*(-$100) + 0.5*(+$200) = +$50.

Наконец, при выходе четвёрок оппонент будет применять смешанную стратегию, при которой колл и пас для нас равноценны – ставить в половине случаев в блеф. Наш выигрыш здесь равен = 0.75*($-100) + 0.25*(+200) = -$25.

Теперь мы можем посчитать ожидание нашего колла на тёрне, суммировав выигрыш для всех карт ривера и разделив полученную сумму на количество этих карт.

Чтобы учесть разный вес некоторых карт, посчитаем 37 из них дважды и 6 – по одному разу, а полученную сумму разделим на 80 (37*2+6 = 80).

EV (чек-колл тёрна) = (40*(-$100) + 11*(+$200) + 12*(-$25) + 1*(+$350) + 10*(+$50) + 6*(-$25))/80 = -$17.50

Таким образом, несмотря на то, что на тёрне наше эквити равнялось 32.5%, на выходе мы получили чувствительный минус: -$17.50 (при уходе в олл-ин на тёрне с эквити 32.5% мы теряем всего $2.5).

Уточнение

Разумеется, я не доказал, что чек-колл ставки в банк на тёрне с 9c 8s 7s 4c является минусовым действием против любых диапазонов оппонента. Я всего лишь показал, что можно сконструировать диапазон, при котором колл с эквити в районе 33% обойдётся нам в $17.50. Можно считать доказанным следующее утверждение:

Эквити руки против диапазона недостаточно для принятия решения в ситуации, когда возможны дальнейшие ставки.

При невозможности дальнейших ставок (то есть когда игроки уходят в олл-ин) эквити в 33.3% будет достаточно для игры в ноль. Поэтому принимать решения, основываясь только на эквити, на практике следует лишь в ситуациях с SPR (отношением стека к банку) ниже единицы. Для более высоких SPR этот метод фундаментально неверен, потому что ожидание от раздачи определит игра сторон на ривере.

Этот вывод наверняка подтверждает ваше интуитивное ощущение, основанное на сотнях тысяч раздач в омаху, которое подсказывает, что в предложенной ситуации чек-колл тёрна делать весьма неприятно.

И всё же большинство игроков в аналогичных ситуациях продолжают принимать решения на глаз, ориентируясь на примерное эквити. Начинающие просто считают ауты и прикидывают эквити против диапазона соперника. Потом вводят поправку на потенциальные шансы банка, надеясь получить дополнительную оплату в случае усиления. В дальнейшем игроки узнают об обратных потенциальных шансах банка – мы можем проиграть ещё больше, если наш аут дал сопернику более сильную руку.

Как мы можем улучшить свою стратегию?

За пределами эквити

В нашей модели мы ограничили возможности игроков: Hero мог играть только чек-колл и чек-фолд, Villain – бет банк или ответный чек.

Наше ожидание может вырасти, если мы включим в свою стратегию лид ривера или чек-рэйз. Как утверждает теория игр, strategic options have non-negative value (что можно примерно перевести как «ожидание от стратегических альтернатив неотрицательно»; надеемся, что математически образованные читатели поделятся в комментариях правильной формулировкой на русском языке – ред.). При оптимальной игре добавление указанных действий с ненулевой частотой может увеличить наше ожидание по сравнению со стратегией {чек-фолд, чек-колл}.

Что же касается линии чек-колл, обдумайте, какие факторы могут сделать её использование предпочтительным. Чтобы начать движение в правильном направлении, спросите себя, почему наше ожидание вырастает, когда мы знаем карты соперника...

Об авторе

Родился в Голландии. Получил степень бакалавра в Оксфорде, где изучал физику, окончил магистратуру по физике в университете Пенсильвании. Некоторое время играл кэш и МТТ в безлимитный холдем, в январе 2012-го переключился на омаху. Преодолел путь от PLO 50 до PLO 400, поднимаясь на следующий лимит только после достижения винрейта не ниже 10bb/100 на значимой дистанции. Рабочие лимиты – от PLO 400 до PLO 2000. Также занимается обучением (уроки стоят €300 в час). Вёл блог Quadrophobia, который позднее вырос в сайт Cardquant. Друг финалиста WSOP-2014 Йоррита ван Хофа. Живёт на Мальте.