Теория игр с Патриком Леонардом

Несколько дней назад Патрик обратился к твиттеру:

Пятеро игроков снимают дом на WSOP с одной большой комнатой, которую все хотят. Чтобы определить, кому она достанется, каждый должен написать цифру от 1 до 10. Выигрывает тот, у кого будет самое большое УНИКАЛЬНОЕ число. Что бы вы написали?

Дэн О’Брайен:

Можешь опубликовать имена всех, кто написал бы 7 или 8?

Джош Арье:

Я бы написал 6. Насколько я плох?

Джейми Стейплс:

9. Математика говорит 10, разум – 8. Думаю, у пяти покеристов есть и то, и другое, поэтому выгоднее всего написать 9.

– Думаешь, эта идея больше никому не придет в голову? – уточнил Патрик.

– Скорее всего, придет. Тогда нужно просто писать 10. Не знаю. Это GTO против эксплойта и нужно учитывать, насколько высокого мнения мы о друзьях. Я своих оцениваю на 6 из 10 :D

Джейк Абдалла:

Нужно флипнуть на пятерых. Победитель выбирает первым, второй – вторым и так далее. Последний оплачивает весь дом и получает худшую комнату. Я за максимальную боль во флипах.

Патрик Леонард:

Мы устраиваем рулетку кредиток в ресторанах по такой схеме: двое проигравших флипают еще раз за 2x суммы счета. Проигравший оплачивает счет и переводит такую же сумму победителю.

Оливье Бускет:

9, потому что покеристы считают себя самыми умными и подумают, что это «очевидный» выбор первого уровня мышления и его никто не выберет. Если в игре участвуют не только профессионалы, тогда 10.

Макс Сильвер:

Напишу 9 и всем покажу.

Аналогичная мысль пришла в голову и Хенрику Хеклену:

Лучший эксплойт – написать 9 и сказать всем, что ни за что не изменишь свой выбор.

Ниалл Фаррелл:

Напишу 1, такого точно никто не ожидает.

M4LT:

Меня устроит вариант, если я напишу 10 и проиграю. Главное – не позволить выиграть с 10 кому-то еще.

Даррел Гох:

Кажется, я только что нашел новый любимый вариант «флипов».

Брайан Раст:

Забавная задача. Не уверен, что ее надо решать «по GTO», скорее, эксплойтом. Проанализировать, по какой стратегии сделают выбор остальные участники, и действовать соответственно. Можно выбрать 10, 9 или даже 8. 7, по-моему, вообще не вариант, когда участвует 5 человек.

ArtySmokesPS:

По Нэшу/GTO нужно миксовать частоты. Чаще следует выбирать 10, но числа ниже 7 тоже остаются частью решения. С исчезающе малыми частотами можно выбирать даже отрицательные, если другие играют по такой же стратегии.

В теории возможна ситуация (очень маловероятная), что двое выберут 1, а еще двое 2, а мы обыграем их с -38.

Гален Холл тоже уверен, что семерка – непростительная ошибка:

13% твоих читателей не должны играть в покер.

– Какое наименьшее число нужно выбирать с ненулевой частотой, если все играют по Нэшу? – поинтересовался у него Джастин Бономо. – Сомневаюсь, что правильный ответ – 8.

– Я не очень много думал на эту тему, – ответил Гален, – но первый ответ, пришедший мне в голову – 8. Единственные варианты, когда 7>8 – 10-10-8-8 9-9-8-8 и 8-8-8-8, но во всех этих случаях выигрывает 9 или 10. Поэтому мне кажется, что оптимальное распределение для 7 – ноль.

– Эта игра хорошо изучена (LUPI), – присоединился к ним Алекс Вайс. – Когда число игроков >= 3, по равновесию Нэша все варианты выбираются с ненулевой частотой. Это относится даже к тем случаям, когда количество вариантов больше, чем игроков. Например, если по условиям можно выбирать отрицательное число, то у -1,000,000 тоже будет ненулевая частота. Безумие.

***

Джон Мур написал программу и выложил код в общий доступ:

Симуляция показывает, как часто нужно играть каждое число, какая у этого числа вероятность выигрыша и какой процент игр они выиграют. Если у всех участников одинаковая стратегия, тогда по GTO вероятность выигрыша каждого числа одинаковая – 16.6%, ничья будет в 16.9% случаев.

– Примечательно, насколько близко голосование Патрика к правильному ответу, – продолжает Джон.

– То есть с семеркой реально выиграть? – сильно удивился Майк Макдональд. – Я думал, что это возможно только в ситуациях 10-10-8-8 и 9-9-8-8.

– Я знаю о пяти случаях, когда в эту игру играли в жизни, – написал Падс, – и выигрышный вариант всегда был ниже 8. В тех играх выигрывали 7, 7, 4, 1 и 6.

– Думаю, игра была бы намного интереснее с большим количеством участников, – предположил Шон Диб.

– С этого все и началось, – ответил ему Гален Холл, уже ознакомившийся с теорией. – В Швеции устраивали по такому принципу лотерею. Но мне кажется, в ней ничего интересного, потому что она решена для любого количества игроков.